Integração Aproximada pelo Método do Trapézio

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Ontem, um estudante que assistiu minha série sobre Portugol Studio no Youtube entrou em contato comigo. Ele queria saber como implementar o Método dos Trapézios para integrais no Portugol Studio, então resolvi compartilhar toda a teoria e a implementação final aqui. É importante que, para compreender 100% o que vai ser dito aqui, o leitor já tenha estudado Cálculo I. Vamos lá!

Cálculo

Primeiramente, vamos analisar a definição precisa de integral através do método do ponto médio. A integral se propõe, no caso R2\mathbb{R}^2, a calcular a área exata sob o gráfico de uma função (ou o volume no caso R3\mathbb{R}^3) no intervalo [a,b][a,b]. Para isso, podemos dividir o eixo xx em nn subintervalos. Para cada subintervalo, escolhemos um xi∗x_i^* e definimos a área desse subintervalo como f(xi∗)⋅Δxf(x_i^*)\cdot \Delta x, em que Δx\Delta x é o tamanho do subintervalo (dado por (b−a)/n{(b-a)/n}).

A Figura 1 abaixo mostra as diversas somas com n=4n=4, n=8n=8, n=16n=16 e n=32n= 32. Observe que, quando nn aumenta, a soma das áreas de cada subintervalo se aproxima da área sob o gráfico da função.

Figura 1: Somas convergindo.

Figura 1: Somas convergindo.

Isso pode ser representado, matematicamente, por:

A≈∑i=1nf(xi∗)⋅ΔxA \approx \sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*)\cdot \Delta x

Sendo assim, se tomamos o limite quando n→∞n \to \infty, então obtemos uma soma perfeita:

∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)⋅Δx\int\limits_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} {\sum\limits_{i=1}^n {f(x_i^*)\cdot \Delta x}}

Infelizmente, são muitos os casos em que é simplesmente impossível calcular o limite infinito para encontrar uma integral exata. Daí recorremos a métodos de aproximação. Apenas remover o limite e escolher um nn arbitrariamente grande é chamado de Método dos Retângulos. Um outro método, com um erro bem menor, é o Método dos Trapézios, ou Integração Trapezoidal.

Nesse método, em vez de somar vários retângulos, cada um aproximando a área entre xi−1x_{i-1} e xix_i, usamos trapézios. Veja na Figura abaixo a comparação entre os dois métodos.

Figura 2(a): Integração por Retângulos.

Figura 2(a): Integração por Retângulos.

Figura 2(b): Integração Trapezoidal.

Figura 2(b): Integração Trapezoidal.

A implementação desse método é parecida com o dos retângulos. Começamos dividindo o intervalo de integração [a,b][a,b] em nn subintervalos de tal forma que Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n}.

A área do trapézio é dada por: (B+b)⋅h2\frac{(B+b)\cdot h}{2} Em que BB e bb são as bases do trapézio e hh é a altura. No nosso caso (considere o ii-ésimo subintervalo), a "altura" do trapézio é Δx\Delta x, ao passo que as bases são f(xi)f(x_i) e f(xi−1)f(x_{i-1}).

Observação: note que x0=ax_0 = a e xn=bx_n = b .

Podemos, então, tomar um nn arbitrariamente grande e teremos a integral aproximada:

∫abf(x)dx ≈ ∑i=1n[f(xi)+f(xi−1)]⋅Δx2\int\limits_a^b {f(x)dx} \, \approx \, \sum\limits_{i=1}^n {\frac{[f(x_i) + f(x_{i-1})]\cdot \Delta x}{2}}

Como Δx/2{\Delta x}/{2} é uma constante, pode ser removido da soma.

∫abf(x)dx ≈ Δx2∑i=1n[f(xi)+f(xi−1)]\int\limits_a^b {f(x)dx} \, \approx \, \frac{\Delta x}{2}\sum\limits_{i=1}^n {[f(x_i) + f(x_{i-1})]}

Então temos a equação final para o método dos trapézios. Basta, agora, implementá-lo.

Veja a implementação: